미적분 예제

$\arcsin (x) = \ln (y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

단계 2

$\arcsin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} y'$

단계 3.3

$\frac{1}{y}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{y'}{y}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

단계 5.2

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

단계 5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} y$

단계 5.3.2.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

단계 5.3.2.1.2

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

단계 5.3.2.1.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

단계 5.3.2.1.3.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

단계 5.3.2.1.3.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} y$

단계 5.3.2.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} y$

단계 5.3.2.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} y$

단계 5.3.2.1.3.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 을 $(1 + x) (1 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 을(를) ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} y$

단계 5.3.2.1.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} y$

단계 5.3.2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

단계 5.3.2.1.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

단계 5.3.2.1.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} y$

단계 5.3.2.1.3.6.5

간단히 합니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} y$

단계 5.3.2.1.4

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$