미적분 예제

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\tan (x) - 1}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 가 $\frac{π}{4}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.3

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.4.2

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.5.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.5.3

$\sqrt{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.2.5.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1.1

$x$ 가 $\frac{π}{4}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

단계 1.3.1.2

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

단계 1.3.1.3

$x$ 가 $\frac{π}{4}$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 - 1}$

단계 1.3.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $\cos (x) - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

단계 3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

단계 3.4.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $\tan (x) - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

단계 3.6

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

단계 3.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

단계 3.8

간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$\sec^{2} (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

단계 3.8.2

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

단계 3.8.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

단계 3.8.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (- \sin (x) - \cos (x)) \cos^{2} (x)$

단계 5

$x$ 가 $\frac{π}{4}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

단계 6

$x$ 가 $\frac{π}{4}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$(- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

단계 7

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

단계 8

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

단계 9

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

단계 10

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

단계 11

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

단계 11.2

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

단계 11.3

$x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12

답을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.3

$- \sqrt{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$- 2 \sqrt{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.4.2.4

$- \sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

단계 12.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$- \sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

단계 12.6

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

단계 12.7

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

단계 12.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

단계 12.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

단계 12.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

단계 12.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

단계 12.7.5

지수값을 계산합니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

단계 12.8

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

단계 12.9

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.9.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

단계 12.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.9.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 12.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

단계 12.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 12.10

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

소수 형태:

$- 0.70710678 \dots$