미적분 예제

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 3

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 4

먼저 $u = - \frac{x}{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{3} d x$ 이므로 $- 3 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = - \frac{x}{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$- \frac{x}{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

단계 4.1.2

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{3}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

단계 4.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3}$

단계 4.2

$u = - \frac{x}{3}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 4.3.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = - \frac{x}{3}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

단계 4.5

간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$6$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

단계 4.5.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 2$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 5.2

$\frac{1}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 5.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 5.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 6

$- 3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 7

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 8

$2^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ 입니다.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

단계 10

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

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단계 12.1

$- 2$ , $0$ 일 때, $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ 값을 계산합니다.

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

단계 12.2

$6$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2}$ 값을 계산합니다.

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3

간단히 합니다.

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단계 12.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.3

$\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.4

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{\ln (2)}$ 을 곱합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.6

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.7

$\frac{1}{2}$ 와 $36$ 을 묶습니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.8

$36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.8.1

$36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.8.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

단계 12.3.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

단계 12.3.10

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

단계 12.3.11

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

단계 12.3.12

$18$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

단계 12.3.13

$18$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

단계 12.3.14

$- 18$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

단계 12.3.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

단계 13

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

단계 13.2

$- 15$ 와 $\frac{1}{4 \ln (2)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

단계 13.3

$- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ 을 곱합니다.

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단계 13.3.1

$- 1$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

단계 13.3.2

$15$ 와 $\frac{1}{\ln (2)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

단계 13.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

소수 형태:

$12.63031921 \dots$

단계 15