미적분 예제

$\int \tan^{3} (x) \sec^{6} (x) d x$

단계 1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$6$ 를 $4$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

단계 1.2

${\sec (x)}^{4 + 2}$ 을 $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

단계 1.3

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \tan^{3} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

단계 1.4

${\sec (x)}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

단계 2

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 를 $1 + \tan^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \tan^{3} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

단계 3

먼저 $u = \tan (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec^{2} (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = \tan (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\tan (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 3.1.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\sec^{2} (x)$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

단계 4

$u^{3} {(1 + u^{2})}^{2}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

${(1 + u^{2})}^{2}$ 을 $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int u^{3} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{3} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

단계 4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

단계 4.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

단계 4.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

단계 4.8

$u^{3}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

단계 4.9

$u^{3}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

단계 4.10

$u^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (1 \cdot u^{2}) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

단계 4.11

$u^{3}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + 1 \cdot u^{3} \cdot u^{2} + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

단계 4.12

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

단계 4.13

$u^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

단계 4.14

$u^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

단계 4.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

단계 4.16

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{3} + u^{5} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

단계 4.17

$u^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

단계 4.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3 + 2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

단계 4.19

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

단계 4.20

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

단계 4.21

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

단계 4.22

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5 + 2} d u$

단계 4.23

$5$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{7} d u$

단계 4.24

$u^{5}$ 를 $u^{5}$ 에 더합니다.

$\int u^{3} + 2 u^{5} + u^{7} d u$

단계 4.25

$2 u^{5}$ 와 $u^{7}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int u^{3} + u^{7} + 2 u^{5} d u$

단계 4.26

$u^{3}$ 를 옮깁니다.

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{7} d u + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} u^{8}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

단계 7

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} u^{6}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{6}$ 와 $u^{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\tan^{8} (x)}{8} + \frac{\tan^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

단계 12

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{8} \tan^{8} (x) + \frac{1}{3} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$