미적분 예제

$y = \cot^{2} (\cos (θ))$

단계 1

$f (θ) = θ^{2}$ , $g (θ) = \cot (\cos (θ))$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cot (\cos (θ))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cot (\cos (θ))$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\cos (θ))]$

단계 2

$f (θ) = \cot (θ)$ , $g (θ) = \cos (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (θ)$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\cos (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 2.2

$\cot (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{2})$ 입니다.

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (θ)$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\cos (θ)) (- \csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \cot (\cos (θ)) (\csc^{2} (\cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

단계 4

$\cos (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $- \sin (θ)$ 입니다.

$- 2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) (- \sin (θ))$

단계 5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$2 \cot (\cos (θ)) \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

단계 6.2

$\csc (\cos (θ))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (θ))})}^{2} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

단계 6.3

$\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

단계 6.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

단계 6.5

$2$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (θ))}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ)) \sin (θ)$

단계 6.6

$\cot (\cos (θ))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

단계 6.7

조합합니다.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \sin (θ)$

단계 6.8

지수를 더하여 $\sin^{2} (\cos (θ))$ 에 $\sin (\cos (θ))$ 을 곱합니다.

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단계 6.8.1

$\sin^{2} (\cos (θ))$ 에 $\sin (\cos (θ))$ 을 곱합니다.

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단계 6.8.1.1

$\sin (\cos (θ))$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{2} (\cos (θ)) \sin^{1} (\cos (θ))} \sin (θ)$

단계 6.8.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{{\sin (\cos (θ))}^{2 + 1}} \sin (θ)$

단계 6.8.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))} \sin (θ)$

단계 6.9

$\frac{2 \cos (\cos (θ))}{\sin^{3} (\cos (θ))}$ 와 $\sin (θ)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin^{3} (\cos (θ))}$

단계 6.10

$\sin^{3} (\cos (θ))$ 에서 $\sin (\cos (θ))$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos (\cos (θ)) \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin^{2} (\cos (θ))}$

단계 6.11

분수를 나눕니다.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cdot \frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$

단계 6.12

$\frac{\cos (\cos (θ))}{\sin (\cos (θ))}$ 을 $\cot (\cos (θ))$ 로 변환합니다.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin^{2} (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

단계 6.13

$\sin^{2} (\cos (θ))$ 에서 $\sin (\cos (θ))$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (θ)}{\sin (\cos (θ)) \sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

단계 6.14

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))} \cot (\cos (θ))$

단계 6.15

$\frac{\sin (θ)}{\sin (\cos (θ))}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

단계 6.16

$\sin (θ)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

단계 6.17

간단히 합니다.

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단계 6.17.1

$\sin (θ)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \frac{1}{\sin (\cos (θ))}) \cot (\cos (θ))$

단계 6.17.2

$\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ 을 $\csc (\cos (θ))$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

단계 6.18

분수를 나눕니다.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (θ))} (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

단계 6.19

$\frac{1}{\sin (\cos (θ))}$ 을 $\csc (\cos (θ))$ 로 변환합니다.

$\frac{2}{1} \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

단계 6.20

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ))) \cot (\cos (θ))$

단계 6.21

$2 \csc (\cos (θ)) (\sin (θ) \csc (\cos (θ)))$ 을 곱합니다.

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단계 6.21.1

$\csc (\cos (θ))$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

단계 6.21.2

$\csc (\cos (θ))$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\csc^{1} (\cos (θ)) \csc^{1} (\cos (θ))) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

단계 6.21.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 {\csc (\cos (θ))}^{1 + 1} \sin (θ) \cot (\cos (θ))$

단계 6.21.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \csc^{2} (\cos (θ)) \sin (θ) \cot (\cos (θ))$