미적분 예제

$y = e^{- x} \sin (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} \sin (x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{- x}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 3.4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 3.4.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 3.4.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

단계 3.4.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$