미적분 예제

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

단계 1.2

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

단계 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

단계 1.2.1.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

$1$ 각 수의 소인수를 나열합니다.

단계 1.2.1.4

$4$ 의 인수는 $2$ 와 $2$ 입니다.

$2 \cdot 2 + y = 0$

단계 1.2.1.5

$8$ 의 소인수는 $2 \cdot 2 \cdot 2$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.5.1

$8$ 의 인수는 $2$ 와 $4$ 입니다.

$2 \cdot 4$

단계 1.2.1.5.2

$4$ 의 인수는 $2$ 와 $2$ 입니다.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

단계 1.2.1.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

Not $p r i m e + y = 0$

단계 1.2.1.7

$4, 8, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

단계 1.2.1.8

$2 \cdot 2 \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.8.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cdot 2 + y = 0$

단계 1.2.1.8.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 + y = 0$

단계 1.2.1.9

$x^{2}$ 의 인수는 $x \cdot x$ 이며 $x$ 를 $2$ 번 곱한 값입니다.

$x^{2} = x \cdot x$

단계 1.2.1.10

$x^{2}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x \cdot x + y = 0$

단계 1.2.1.11

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} + y = 0$

단계 1.2.1.12

$4, 8 x^{2}, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $8$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$8 x^{2} + y = 0$

단계 1.2.2

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ 의 각 항에 $8 x^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ 의 각 항에 $8 x^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.3

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.3.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.5

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.5.1

$8 x^{2}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.6

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.2.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

$0 (8 x^{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1.1

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

단계 1.2.2.3.1.2

$0$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$2 x^{6} + 1 = 0$

단계 1.2.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 x^{6} = - 1$

단계 1.2.3.2

$2 x^{6} = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$2 x^{6} = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 1.2.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 1.2.3.2.2.1.2

$x^{6}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

단계 1.2.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

단계 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

단계 1.2.3.4

$\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.4.1

$- \frac{1}{2}$ 을 $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.4.1.1

$- 1$ 을 $i^{6}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

단계 1.2.3.4.1.2

$1$ 을 $1^{6}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

단계 1.2.3.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

단계 1.2.3.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

단계 1.2.3.4.4

$\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

단계 1.2.3.4.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

단계 1.2.3.4.6

$i$ 와 $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

단계 1.2.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

단계 1.2.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

단계 1.2.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

단계 1.3

$x$ 에 $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

모든 해를 나열합니다.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

단계 3

$1$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

단계 3.2

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

단계 3.4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

단계 3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

단계 3.6

$\frac{1}{8}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3.7

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.7.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 3.7.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 3.7.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

단계 3.8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

단계 3.9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{5} x^{5}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

단계 3.9.2

$4$ , $1$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.1

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.2

$\frac{1}{5}$ 와 $1024$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.6

$1024$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.7

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1023}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.8

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

단계 3.9.3.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

단계 3.9.3.11

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

단계 3.9.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

단계 3.9.3.13

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

단계 3.9.3.14

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

단계 3.9.3.15

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

단계 3.9.3.16

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1023}{20}$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

단계 3.9.3.17

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3}{32}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

단계 3.9.3.18

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $160$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.18.1

$\frac{1023}{20}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

단계 3.9.3.18.2

$20$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

단계 3.9.3.18.3

$\frac{3}{32}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

단계 3.9.3.18.4

$32$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

단계 3.9.3.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

단계 3.9.3.20

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.3.20.1

$1023$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

단계 3.9.3.20.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{8184 + 15}{160}$

단계 3.9.3.20.3

$8184$ 를 $15$ 에 더합니다.

$\frac{8199}{160}$

단계 4