미적분 예제

$y = 4 - 4 x^{2}$ , $y = 0$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

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단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$4 - 4 x^{2} = 0$

단계 1.2

$4 - 4 x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- 4 x^{2} = - 4$

단계 1.2.2

$- 4 x^{2} = - 4$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$- 4 x^{2} = - 4$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

단계 1.2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 1.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 1.2.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 1.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 1.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 1.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 1.3

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

단계 2

$4$ 와 $- 4 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - 4 x^{2} + 4$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

단계 4

$- 1$ 과(와) $1$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 - (0) d x$

단계 4.2

$- 4 x^{2} + 4$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 d x$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

단계 4.4

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

단계 4.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

단계 4.6

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

단계 4.7

상수 규칙을 적용합니다.

$- 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

단계 4.8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

단계 4.8.2

$1$ , $- 1$ 일 때, $4 x$ 값을 계산합니다.

$- 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3

간단히 합니다.

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단계 4.8.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 4 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 4 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.5

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 \frac{1 + 1}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 4 (\frac{2}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.8

$- 4$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 2}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.9

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.11

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{8}{3} + 4 - 4 \cdot - 1$

단계 4.8.3.12

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{8}{3} + 4 + 4$

단계 4.8.3.13

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- \frac{8}{3} + 8$

단계 4.8.3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.8.3.15

$8$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

단계 4.8.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{3}$

단계 4.8.3.17

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.8.3.17.1

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8 + 24}{3}$

단계 4.8.3.17.2

$- 8$ 를 $24$ 에 더합니다.

$\frac{16}{3}$

단계 5