미적분 예제

$x = 4 - y^{2}$ , $x = y - 2$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$4 - y^{2} = y - 2$

단계 1.2

$4 - y^{2} = y - 2$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$4 - y^{2} - y = - 2$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$4 - y^{2} - y + 2 = 0$

단계 1.2.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- y^{2} - y + 6 = 0$

단계 1.2.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$- y^{2} - y + 6$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1

$- y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (y^{2}) - y + 6 = 0$

단계 1.2.4.1.2

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (y^{2}) - (y) + 6 = 0$

단계 1.2.4.1.3

$6$ 을 $- 1 (- 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (y^{2}) - (y) - 1 \cdot - 6 = 0$

단계 1.2.4.1.4

$- (y^{2}) - (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (y^{2} + y) - 1 \cdot - 6 = 0$

단계 1.2.4.1.5

$- (y^{2} + y) - 1 (- 6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (y^{2} + y - 6) = 0$

단계 1.2.4.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

AC 방법을 이용하여 $y^{2} + y - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 2, 3 + x = y - 2$

단계 1.2.4.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((y - 2) (y + 3)) = 0$

단계 1.2.4.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (y - 2) (y + 3) = 0$

단계 1.2.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$y - 2 = 0$

$y + 3 = 0 + x = y - 2$

단계 1.2.6

$y - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$y - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y - 2 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y = 2$

단계 1.2.7

$y + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$y + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y + 3 = 0$

단계 1.2.7.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$y = - 3$

단계 1.2.8

$- (y - 2) (y + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$y = 2, - 3$

단계 1.3

$y = 2$ 이면 $x$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$y$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$x = (2) - 2$

단계 1.3.2

$x = (2) - 2$ 에서 $y$ 에 $2$ 을 대입하고 $x$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$x = 2 - 2$

단계 1.3.2.2

괄호를 제거합니다.

$x = (2) - 2$

단계 1.3.2.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x = 0$

단계 1.4

$y = - 3$ 이면 $x$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$y$ 에 $- 3$ 를 대입합니다.

$x = (- 3) - 2$

단계 1.4.2

$x = (- 3) - 2$ 에서 $y$ 에 $- 3$ 을 대입하고 $x$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$x = - 3 - 2$

단계 1.4.2.2

괄호를 제거합니다.

$x = (- 3) - 2$

단계 1.4.2.3

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x = - 5$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 2)$

$(- 5, - 3)$

$(0, 2)$

$(- 5, - 3)$

단계 2

$4$ 와 $- y^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$x = - y^{2} + 4$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 3}^{2} - y^{2} + 4 d y - \int_{- 3}^{2} y - 2 d y$

단계 4

$- 3$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 3}^{2} - y^{2} + 4 - (y - 2) d y$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- y^{2} + 4 - y - - 2$

단계 4.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- y^{2} + 4 - y + 2$

$\int_{- 3}^{2} - y^{2} + 4 - y + 2 d y$

단계 4.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int_{- 3}^{2} - y^{2} - y + 6 d y$

단계 4.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 3}^{2} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{2} - y d y + \int_{- 3}^{2} 6 d y$

단계 4.5

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{- 3}^{2} y^{2} d y + \int_{- 3}^{2} - y d y + \int_{- 3}^{2} 6 d y$

단계 4.6

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - y d y + \int_{- 3}^{2} 6 d y$

단계 4.7

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - y d y + \int_{- 3}^{2} 6 d y$

단계 4.8

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - \int_{- 3}^{2} y d y + \int_{- 3}^{2} 6 d y$

단계 4.9

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d y$

단계 4.10

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d y$

단계 4.11

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 y]_{- 3}^{2}$

단계 4.12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1

$2$ , $- 3$ 일 때, $\frac{y^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 y]_{- 3}^{2}$

단계 4.12.2

$2$ , $- 3$ 일 때, $\frac{y^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 6 y]_{- 3}^{2}$

단계 4.12.3

$2$ , $- 3$ 일 때, $6 y$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.2

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.3

$- 27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.3.1

$- 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.3.2.4

$- 9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{8}{3} - - 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.4

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$- (\frac{8}{3} + 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.6

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.8.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{8 + 27}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.8.2

$8$ 를 $27$ 에 더합니다.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.9

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{35}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.10

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.10.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.10.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.11

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.12

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{35}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.13

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{35}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.15

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.15.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{35}{3} - \frac{4 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.15.2

$4$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$- \frac{35}{3} - \frac{- 5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{35}{3} - - \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.17

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{35}{3} + 1 (\frac{5}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.18

$\frac{5}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{35}{3} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.19

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{35}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.20

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{5}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.21

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.21.1

$\frac{35}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.21.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.21.3

$\frac{5}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.21.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.23

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.23.1

$- 35$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 70 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.23.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 70 + 15}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.23.3

$- 70$ 를 $15$ 에 더합니다.

$\frac{- 55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.24

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.25

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{55}{6} + 12 - 6 \cdot - 3$

단계 4.12.4.26

$- 6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- \frac{55}{6} + 12 + 18$

단계 4.12.4.27

$12$ 를 $18$ 에 더합니다.

$- \frac{55}{6} + 30$

단계 4.12.4.28

공통 분모를 가지는 분수로 $30$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$- \frac{55}{6} + 30 \cdot \frac{6}{6}$

단계 4.12.4.29

$30$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$- \frac{55}{6} + \frac{30 \cdot 6}{6}$

단계 4.12.4.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 55 + 30 \cdot 6}{6}$

단계 4.12.4.31

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.31.1

$30$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 55 + 180}{6}$

단계 4.12.4.31.2

$- 55$ 를 $180$ 에 더합니다.

$\frac{125}{6}$

단계 5