미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{4}{5}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$n = \frac{4}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}$

단계 1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

단계 1.3

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

단계 1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}$

단계 1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}$

단계 1.5.2

$4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}$

단계 1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}$

단계 1.7

간단히 합니다.

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단계 1.7.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

단계 1.7.2

$\frac{4}{5}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{4}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 의 미분은 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ 입니다.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{5}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

단계 2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

단계 2.3

$n = - \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

단계 2.7.2

$- 1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

단계 2.9

$x^{- \frac{6}{5}}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

단계 2.10

$\frac{4}{5}$ 에 $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

단계 2.11

곱합니다.

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단계 2.11.1

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

단계 2.11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{6}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ 입니다.

$- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$