미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} - x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - (3 x^{2})$

단계 1.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x - 3 x^{2}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{2} + 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 x + 4 \cdot 1$

단계 2.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 4$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 6 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$- 6 + 0$

단계 3.3.2

$- 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = - 6$

단계 4

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$f^{4} (x) = 0$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $0$ 입니다.

$0$