미적분 예제

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

단계 1

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = x - 9$ , $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 18 x - 162$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ 가 됩니다.

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

단계 2.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

단계 2.1.2.3

$- 18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 18 x$ 의 미분은 $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

단계 2.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

단계 2.1.2.5

$- 18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

단계 2.1.2.6

$- 162$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 162$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 162$ 입니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

단계 2.1.2.7

$2 x - 18$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

단계 2.1.2.8

합의 법칙에 의해 $x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

단계 2.1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

단계 2.1.2.10

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

단계 2.1.2.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

단계 2.1.2.11.2

$x^{2} - 18 x - 162$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.5

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.6

$x$ 의 왼쪽으로 $- 18$ 이동하기

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.7

$- 9$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.8

$- 18 x$ 에서 $18 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.9

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

단계 2.1.3.4.10

$- 36 x$ 에서 $18 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

단계 2.1.3.4.11

$162$ 에서 $162$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

단계 2.1.3.4.12

$3 x^{2} - 54 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 x^{2} - 54 x$ 입니다.

$3 x^{2} - 54 x$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 54 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 x^{2} - 54 x = 0$

단계 3.2

$3 x^{2} - 54 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3 x^{2}$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x) - 54 x = 0$

단계 3.2.2

$- 54 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

단계 3.2.3

$3 x (x) + 3 x (- 18)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x - 18) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 18 = 0$

단계 3.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.5

$x - 18$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x - 18$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 18 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에 $18$ 를 더합니다.

$x = 18$

단계 3.6

$3 x (x - 18) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 18$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, 18$ 입니다.

$0, 18$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

단계 6.2.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

단계 6.2.1.3

$- 54$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = 3 + 54$

단계 6.2.2

$3$ 를 $54$ 에 더합니다.

$f' (- 1) = 57$

단계 6.2.3

최종 답은 $57$ 입니다.

$57$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $57$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

단계 7

$(0, 18)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $9$ 을 대입합니다.

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

단계 7.2.1.2

$3$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

단계 7.2.1.3

$- 54$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (9) = 243 - 486$

단계 7.2.2

$243$ 에서 $486$ 을 뺍니다.

$f' (9) = - 243$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 243$ 입니다.

$- 243$

단계 7.3

$x = 9$ 에서의 도함수는 $- 243$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 18)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 18)$ 에서 감소함

단계 8

$(18, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $19$ 을 대입합니다.

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$19$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

단계 8.2.1.2

$3$ 에 $361$ 을 곱합니다.

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

단계 8.2.1.3

$- 54$ 에 $19$ 을 곱합니다.

$f' (19) = 1083 - 1026$

단계 8.2.2

$1083$ 에서 $1026$ 을 뺍니다.

$f' (19) = 57$

단계 8.2.3

최종 답은 $57$ 입니다.

$57$

단계 8.3

$x = 19$ 에서의 도함수는 $57$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(18, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(18, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 0), (18, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(0, 18)$

단계 10