미적분 예제

$4 x^{3} - 12 x$

단계 1

$4 x^{3} - 12 x$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 2.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 2.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 12 \cdot 1$

단계 2.1.3.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 12$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} - 12$ 입니다.

$12 x^{2} - 12$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} - 12 = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} - 12 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에 $12$ 를 더합니다.

$12 x^{2} = 12$

단계 3.3

$12 x^{2} = 12$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$12 x^{2} = 12$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

단계 3.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{12}{12}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1

$12$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 3.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 3.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $1, - 1$ 입니다.

$1, - 1$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 12$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 12 \cdot 4 - 12$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 48 - 12$

단계 6.2.2

$48$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = 36$

단계 6.2.3

최종 답은 $36$ 입니다.

$36$

단계 6.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $36$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 증가함

단계 7

$(- 1, 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 12$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 12$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 - 12$

단계 7.2.2

$0$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f' (0) = - 12$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

단계 7.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $- 12$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 1, 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 1, 1)$ 에서 감소함

단계 8

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = 12 {(2)}^{2} - 12$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = 12 \cdot 4 - 12$

단계 8.2.1.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 48 - 12$

단계 8.2.2

$48$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f' (2) = 36$

단계 8.2.3

최종 답은 $36$ 입니다.

$36$

단계 8.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $36$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- 1, 1)$

단계 10