미적분 예제

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.3.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.3.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.3.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.3.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.3.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

단계 1.1.1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

단계 1.1.1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x \ln (x) + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \ln (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2.5

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.2.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2.7

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

단계 1.1.2.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

단계 1.1.2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.1.2.4.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

단계 1.1.2.4.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $2 \ln (x) + 3$ 입니다.

$2 \ln (x) + 3$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $2 \ln (x) + 3 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$2 \ln (x) + 3 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$2 \ln (x) = - 3$

단계 1.2.3

$2 \ln (x) = - 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$2 \ln (x) = - 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

단계 1.2.3.2.1.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

단계 1.2.4

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

단계 1.2.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

단계 1.2.6

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.6.1

$x = e^{- \frac{3}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

단계 1.2.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

단계 2

$f (x) = x^{2} \ln (x)$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x > 0$

단계 2.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(0, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 0}$

구간 표기:

$(0, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 0}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

단계 4

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.11$ 을 대입합니다.

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (0.11)$ 을 간단히 합니다.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

단계 4.2.1.2

$0.11$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

단계 4.2.2

최종 답은 $\ln (0.0121) + 3$ 입니다.

$\ln (0.0121) + 3$

단계 4.3

$f'' (0.11)$ 이 음수이므로 그래프는 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (3)$ 을 간단히 합니다.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

단계 5.2.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

단계 5.2.2

최종 답은 $\ln (9) + 3$ 입니다.

$\ln (9) + 3$

단계 5.3

$f'' (3)$ 이 양수이므로 그래프는 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7