미적분 예제

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 8 x + 41$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

단계 1.1.1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

단계 1.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 8 x + 41$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 8 x + 41$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

단계 1.1.1.2.3

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

단계 1.1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

단계 1.1.1.2.5

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

단계 1.1.1.2.6

$41$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $41$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $41$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

단계 1.1.1.2.7

$2 x - 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

단계 1.1.1.3

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

단계 1.1.1.3.2

$2 x - 8$ 에 $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

단계 1.1.1.3.3

$2 x - 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1.3.3.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

단계 1.1.1.3.3.2

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

단계 1.1.1.3.3.3

$2 x + 2 \cdot - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x - 4$ , $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3

미분합니다.

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단계 1.1.2.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.4.2

$x^{2} - 8 x + 41$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 8 x + 41$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.7

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.9

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.10

$41$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $41$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $41$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.11

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.2.3.11.1

$2 x - 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

단계 1.1.2.3.11.2

$2$ 와 $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.3.1.1

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.2

$2$ 에 $41$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 4) (2 x - 8)$ 를 전개합니다.

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단계 1.1.2.4.3.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.3.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.3.1.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.5.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.5.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.5.1.4

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.5.1.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.5.1.6

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.5.2

$8 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.3.1.7.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.7.2

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.1.7.3

$2$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.3

$- 16 x$ 를 $32 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.3.4

$82$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.4.1

$- 2 x^{2} + 16 x + 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.4.1.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.1.2

$16 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.1.3

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.1.4

$2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.1.5

$2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ 이고 합이 $b = 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.4.2.1.1

$8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.2.1.2

$8$ 를 $- 1$ + $9$ 로 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.1.2.4.4.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.4.2.3

최대공약수 $- x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.5

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.6

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.7

$- (x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.8

$- (x + 1)$ 을 $- 1 (x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.2.4.10

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

단계 1.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

단계 1.2.3.2

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 1.2.3.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.2.3.3

$x - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$x - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 9 = 0$

단계 1.2.3.3.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$x = 9$

단계 1.2.3.4

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 9$

단계 2

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

단계 2.2.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.2.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 8$ , $c = 41$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $41$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.3

$64$ 에서 $164$ 을 뺍니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.4

$- 100$ 을 $- 1 (100)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.7

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

단계 2.2.4.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 4 \pm 5 i$

단계 2.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $41$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.3

$64$ 에서 $164$ 을 뺍니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.4

$- 100$ 을 $- 1 (100)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.7

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

단계 2.2.5.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 4 \pm 5 i$

단계 2.2.5.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = 4 + 5 i$

단계 2.2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.2.2

$- 4$ 에 $41$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.3

$64$ 에서 $164$ 을 뺍니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.4

$- 100$ 을 $- 1 (100)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.7

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

단계 2.2.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

단계 2.2.6.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = 4 \pm 5 i$

단계 2.2.6.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = 4 - 5 i$

단계 2.2.7

최고차항 계수를 알아냅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

다항식의 선행항은 차수가 가장 높은 항입니다.

$x^{2}$

단계 2.2.7.2

다항식에서 선행계수는 선행항의 계수입니다.

$1$

단계 2.2.8

x절편이 실수가 아니고 최고차항 계수가 양수이므로 포물선은 위로 열리며 $x^{2} - 8 x + 41$ 은 항상 $0$ 보다 큽니다.

모든 실수

단계 2.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

단계 4.2.1.3

$- 4$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

단계 4.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

단계 4.2.2.2

$- 8$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

단계 4.2.2.3

$16$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

단계 4.2.2.4

$48$ 를 $41$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

단계 4.2.2.5

$89$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

단계 4.2.3

$- 6$ 에 $- 13$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

단계 4.2.4

최종 답은 $- \frac{78}{7921}$ 입니다.

$- \frac{78}{7921}$

단계 4.3

$f'' (- 4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(- 1, 9)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

단계 5.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

단계 5.2.1.3

$0$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

단계 5.2.2.2

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

단계 5.2.2.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

단계 5.2.2.4

$0$ 를 $41$ 에 더합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

단계 5.2.2.5

$41$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

단계 5.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

단계 5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

단계 5.2.4

최종 답은 $\frac{18}{1681}$ 입니다.

$\frac{18}{1681}$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 1, 9)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 1, 9)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(9, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $12$ 을 대입합니다.

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$12$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$2$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

단계 6.2.1.3

$12$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$12$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$- 8$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

단계 6.2.2.3

$144$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

단계 6.2.2.4

$48$ 를 $41$ 에 더합니다.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

단계 6.2.2.5

$89$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

단계 6.2.3

$26$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

단계 6.2.4

최종 답은 $- \frac{78}{7921}$ 입니다.

$- \frac{78}{7921}$

단계 6.3

$f'' (12)$ 이 음수이므로 그래프는 $(9, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(9, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 1, 9)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(9, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 8