미적분 예제

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 7}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$f (x) = x - 2$ , $g (x) = x + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 7) \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{(x + 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(x + 7) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{(x + 7) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.4.2

$x + 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.5

합의 법칙에 의해 $x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7))}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (7))}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.7

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 2) \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x + 7 - (x - 2)}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{x + 7 - x + 2}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1

$x + 7 - x - - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{0 + 7 + 2}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.1.2

$0$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{7 + 2}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{7 + 2}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2.3

$7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{9}{{(x + 7)}^{2}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{9}{{(x + 7)}^{2}}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 7)}^{2}})$

단계 1.1.2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$ 을 ${({(x + 7)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({({(x + 7)}^{2})}^{- 1})$

단계 1.1.2.1.2.2

${({(x + 7)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{2 \cdot - 1})$

단계 1.1.2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x + 7)}^{- 2})$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 7$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 7))$

단계 1.1.2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 9 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 7))$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 7$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 9 (- 2 {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 7))$

단계 1.1.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 18 ({(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 7))$

단계 1.1.2.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - 18 {(x + 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7))$

단계 1.1.2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 18 {(x + 7)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (7))$

단계 1.1.2.3.4

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$f'' (x) = - 18 {(x + 7)}^{- 3} (1 + 0)$

단계 1.1.2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 18 {(x + 7)}^{- 3} \cdot 1$

단계 1.1.2.3.5.2

$- 18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 18 {(x + 7)}^{- 3}$

단계 1.1.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 18 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}}$

단계 1.1.2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.2.1

$- 18$ 와 $\frac{1}{{(x + 7)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 18}{{(x + 7)}^{3}}$

단계 1.1.2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{18}{{(x + 7)}^{3}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{18}{{(x + 7)}^{3}}$ 입니다.

$- \frac{18}{{(x + 7)}^{3}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{18}{{(x + 7)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{18}{{(x + 7)}^{3}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$18 = 0$

단계 1.2.3

$18 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 7}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x - 2}{x + 7}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 7 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $7$ 를 뺍니다.

$x = - 7$

단계 2.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 7}$

구간 표기:

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq - 7}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 7)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 10$ 을 대입합니다.

$f'' (- 10) = - \frac{18}{{((- 10) + 7)}^{3}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 10$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f'' (- 10) = - \frac{18}{{(- 3)}^{3}}$

단계 4.2.1.2

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 10) = - \frac{18}{- 27}$

단계 4.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$18$ 및 $- 27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 10) = - \frac{9 (2)}{- 27}$

단계 4.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.2.1

$- 27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 10) = - \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot - 3}$

단계 4.2.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 10) = - \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot - 3}$

단계 4.2.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 10) = - \frac{2}{- 3}$

단계 4.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 10) = \frac{2}{3}$

단계 4.2.3

최종 답은 $\frac{2}{3}$ 입니다.

$\frac{2}{3}$

단계 4.3

$f'' (- 10)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 7)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 7)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(- 7, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - \frac{18}{{((0) + 7)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f'' (0) = - \frac{18}{7^{3}}$

단계 5.2.1.2

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0) = - \frac{18}{343}$

단계 5.2.2

최종 답은 $- \frac{18}{343}$ 입니다.

$- \frac{18}{343}$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 7, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 7, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 7)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 7, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7