미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{2} - 12$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.3

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.4.2

$x - 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 4) x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.5

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.7

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.1.3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.4.1.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.4.1.3

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.4.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.1.3.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 8 x + 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $12$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 6, - 2$

단계 1.1.1.3.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f' (x) = \frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

$f (x) = (x - 6) (x - 2)$ , $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.2

${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

단계 1.1.2.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 6) (x - 2)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.3

$f (x) = x - 6$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4

미분합니다.

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단계 1.1.2.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.4.2

$x - 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 6)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.5

합의 법칙에 의해 $x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.7

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) (1 + 0)) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + (x - 2) \cdot 1) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.8.2

$x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (x - 6 + x - 2) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.8.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 6 - 2) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.8.4

$- 6$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3

$u$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - (x - 6) (x - 2) (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.6

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.6.2

${(x - 4)}^{2} (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4])$ 에서 $x - 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.2.1

${(x - 4)}^{2} (2 x - 8)$ 에서 $x - 4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) - 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.6.2.2

$- 2 (x - 6) (x - 2) ((x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4])$ 에서 $x - 4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) + (x - 4) (- 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.6.2.3

$(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8)) + (x - 4) (- 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 4]))$ 에서 $x - 4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{{(x - 4)}^{4}}$

단계 1.1.2.7

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

${(x - 4)}^{4}$ 에서 $x - 4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{(x - 4) {(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) ((x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4)))}{(x - 4) {(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.8

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.10

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2) \cdot 1}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.11.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) - 2 (x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (2 x - 8)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 8) - 4 (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x - 8) + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 8 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.2.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.2.1.4

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.2.1.5

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - 8 x + 32 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.2.2

$- 8 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 + (- 2 x - 2 \cdot - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.3

$- 2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 + (- 2 x + 12) (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 2 x + 12) (x - 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x (x - 2) + 12 (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 12 (x - 2)}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.5.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.5.1.2

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 4 x + 12 x + 12 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.5.1.3

$12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 4 x + 12 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.1.5.2

$4 x$ 를 $12 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.2

$2 x^{2} - 16 x + 32 - 2 x^{2} + 16 x - 24$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.12.2.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 16 x + 32 + 0 + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.2.2

$- 16 x + 32$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 16 x + 32 + 16 x - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.2.3

$- 16 x$ 를 $16 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{0 + 32 - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.2.4

$0$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{32 - 24}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.2.12.2.3

$32$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{8}{{(x - 4)}^{3}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{8}{{(x - 4)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{8}{{(x - 4)}^{3}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$8 = 0$

단계 1.2.3

$8 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} - 12}{x - 4}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 4}$

구간 표기:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 4}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 4)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = \frac{8}{{((0) - 4)}^{3}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = \frac{8}{{(- 4)}^{3}}$

단계 4.2.1.2

$- 4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0) = \frac{8}{- 64}$

단계 4.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$8$ 및 $- 64$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = \frac{8 (1)}{- 64}$

단계 4.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.2.1

$- 64$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 8}$

단계 4.2.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 8}$

단계 4.2.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = \frac{1}{- 8}$

단계 4.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

단계 4.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{8}$ 입니다.

$- \frac{1}{8}$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, 4)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 4)$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(4, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f'' (6) = \frac{8}{{((6) - 4)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$6$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (6) = \frac{8}{2^{3}}$

단계 5.2.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{8}{8}$

단계 5.2.2

$8$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$f'' (6) = 1$

단계 5.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 5.3

$f'' (6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(4, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(4, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 4)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(4, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7