미적분 예제

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

단계 1

극한을 우극한으로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

단계 2

$x^{3} \ln (x)$ 을 $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

단계 3.1.2

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (x)$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

단계 3.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

단계 3.1.3.2

분자는 상수이고 분모는 $x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 근접할 때 $0$ 에 근접하므로 분수 $\frac{1}{x^{3}}$ 은 무한대로 발산합니다.

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 3.1.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{- \infty}{\infty}$

단계 3.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

단계 3.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

단계 3.3.3

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

단계 3.3.4

간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

단계 3.3.4.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

단계 3.3.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

단계 3.5

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{x^{4}}{3}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

단계 3.6

$x^{4}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.2.1

$x \cdot 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

단계 3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

단계 3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

단계 4.2

$\frac{1}{3}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

단계 4.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

단계 5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

단계 6.2

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 (\frac{1}{3})$

단계 6.2.2

$0$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$0$