미적분 예제

$x^{2} e^{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

단계 1.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

단계 2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x e^{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 입니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

단계 2.3.5

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

단계 2.4.2

$e^{x} (2 x)$ 를 $2 x e^{x}$ 에 더합니다.

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단계 2.4.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.4.2.2

$2 x e^{x}$ 를 $2 x e^{x}$ 에 더합니다.

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

단계 2.4.4

$e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [4 x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x e^{x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 입니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.3.5

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x}) + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

단계 3.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$e^{x} (2 x)$ 를 $4 x e^{x}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 4 x e^{x} + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

단계 3.5.2.1.2

$2 x e^{x}$ 를 $4 x e^{x}$ 에 더합니다.

$x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

단계 3.5.2.2

$4 e^{x}$ 를 $2 e^{x}$ 에 더합니다.

$x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

단계 3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 6 e^{x}$

단계 3.5.4

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [6 x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x e^{x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 입니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.3.5

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

단계 4.4

$\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.4.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 e^{x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 4.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 e^{x}$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x}) + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

단계 4.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$e^{x} (2 x)$ 를 $6 x e^{x}$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

단계 4.5.2.1.2

$2 x e^{x}$ 를 $6 x e^{x}$ 에 더합니다.

$x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

단계 4.5.2.2

$6 e^{x}$ 를 $6 e^{x}$ 에 더합니다.

$x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 12 e^{x}$

단계 4.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2} + 8 e^{x} x + 12 e^{x}$

단계 4.5.4

$e^{x} x^{2} + 8 e^{x} x + 12 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 12 e^{x}$