미적분 예제

$\frac{17}{x^{2} + 12}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

$17$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{17}{x^{2} + 12}$ 의 미분은 $17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ 입니다.

$17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{x^{2} + 12}$ 을 ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$17 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{- 1}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 12$ 로 바꿉니다.

$17 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

단계 1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$17 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 12$ 로 바꿉니다.

$17 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$- 17 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

단계 1.3.4

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

단계 1.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

단계 1.3.5.2

$2$ 에 $- 17$ 을 곱합니다.

$- 34 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 34 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.4.2.1

$- 34$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

단계 1.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

단계 1.4.2.3

$x$ 와 $\frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

단계 1.4.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $34$ 이동하기

$f' (x) = - \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$- 34$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ 의 미분은 $- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ 입니다.

$- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

단계 2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.3.3

${(x^{2} + 12)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 12$ 로 바꿉니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 12$ 로 바꿉니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.5.2

${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ 에서 $x^{2} + 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.5.2.1

${(x^{2} + 12)}^{2}$ 에서 $x^{2} + 12$ 를 인수분해합니다.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.5.2.2

$- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ 에서 $x^{2} + 12$ 를 인수분해합니다.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.5.2.3

$(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ 에서 $x^{2} + 12$ 를 인수분해합니다.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

단계 2.6

공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.1

${(x^{2} + 12)}^{4}$ 에서 $x^{2} + 12$ 를 인수분해합니다.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.6.2

공약수로 약분합니다.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.9

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.10.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.15

$x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 34 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.16

$- 34$ 와 $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.18

간단히 합니다.

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단계 2.18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{34 (- 3 x^{2}) + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.18.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.18.2.1

$- 3$ 에 $34$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 102 x^{2} + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

단계 2.18.2.2

$34$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{- 102 x^{2} + 408}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$