미적분 예제

$\frac{3 x + 4}{2 x - 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = 3 x + 4$ , $g (x) = 2 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 4] - (3 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(2 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.5

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{(2 x - 3) (3 + 0) - (3 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x - 3) \cdot 3 - (3 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$2 x - 3$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (2 x - 3) - (3 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.7

합의 법칙에 의해 $2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{3 (2 x - 3) - (3 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.8

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3 (2 x - 3) - (3 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (2 x - 3) - (3 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.10

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x - 3) - (3 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.11

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{3 (2 x - 3) - (3 x + 4) (2 + 0)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.12

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.12.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 (2 x - 3) - (3 x + 4) \cdot 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.12.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x - 3) - 2 (3 x + 4)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - 2 (3 x + 4)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.3.3.1.1

인수가 항 $3 (2 x)$ 과(와) $- 2 (3 x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2

$2 \cdot 3 x$ 에서 $2 \cdot 3 x$ 을 뺍니다.

$\frac{3 \cdot - 3 + 0 - 2 \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.3

$3 \cdot - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 \cdot - 3 - 2 \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.2.1

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 - 2 \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.3.2.2

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 - 8}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.3.3

$- 9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{- 17}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{17}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

$- 17$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{17}{{(2 x - 3)}^{2}}$ 의 미분은 $- 17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}}]$ 입니다.

$- 17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}}]$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x - 3)}^{2}}$ 을 ${({(2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 17 \frac{d}{d x} [{({(2 x - 3)}^{2})}^{- 1}]$

단계 2.1.2.2

${({(2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 17 \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 17 \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{- 2}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = 2 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x - 3$ 로 바꿉니다.

$- 17 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

단계 2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 17 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $2 x - 3$ 로 바꿉니다.

$- 17 (- 2 {(2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 에 $- 17$ 을 곱합니다.

$34 ({(2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$34 {(2 x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$34 {(2 x - 3)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$34 {(2 x - 3)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$34 {(2 x - 3)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.3.6

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$34 {(2 x - 3)}^{- 3} (2 + 0)$

단계 2.3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$34 {(2 x - 3)}^{- 3} \cdot 2$

단계 2.3.7.2

$2$ 에 $34$ 을 곱합니다.

$68 {(2 x - 3)}^{- 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$68 \frac{1}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 2.4.2

$68$ 와 $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{68}{{(2 x - 3)}^{3}}$