미적분 예제

$4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.2.2

$n = \frac{5}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.6.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.7.1

$\frac{5}{3}$ 와 ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 1.7.2

$\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.7.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.8

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.10

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

단계 1.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

단계 1.11.2

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{20}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ 의 미분은 $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$ 입니다.

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{20}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.7

분수를 통분합니다.

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단계 2.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.7.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2 {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

단계 2.7.4

$\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 에 $\frac{20}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 20}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 2.7.5

곱합니다.

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단계 2.7.5.1

$2$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\frac{40}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 2.7.5.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 2.10

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

단계 2.11.2

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$