미적분 예제

$3 x^{- 3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{- 3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- 3 x^{- 4})$

단계 1.3

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 9 x^{- 4}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 9 \frac{1}{x^{4}}$

단계 1.4.2

$- 9$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 9}{x^{4}}$

단계 1.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{9}{x^{4}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{9}{x^{4}}$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 2.2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

단계 2.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 9 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 2.3

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 9 (- 4 x^{- 5})$

단계 2.4

$- 4$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$36 x^{- 5}$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$36 \frac{1}{x^{5}}$

단계 2.5.2

$36$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{36}{x^{5}}$