미적분 예제

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$6$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $6 y^{\frac{5}{2}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.2

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.6.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.7

$\frac{5}{2}$ 와 $y^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.8

$6$ 와 $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.9

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.10

$30 y^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.11

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.2.11.4

$15 y^{\frac{3}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 5 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 5 x y$ 의 미분은 $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.3.3

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

단계 1.4

$- 7 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 7 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 7 x$ 입니다.

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.1.2

$- 5 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 5 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 5 x$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$15$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $15 y^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

단계 2.2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

단계 2.2.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

단계 2.2.7

$\frac{3}{2}$ 와 $y^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.2.8

$15$ 와 $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 2.2.9

$3$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 더합니다.

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$