미적분 예제

$x e^{- x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

단계 1.3.5

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

단계 1.4.2

$- e^{- x} x + e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- x e^{- x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.10

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 2.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

단계 2.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

단계 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

단계 2.4.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

단계 2.4.2.3

$- e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 을 뺍니다.

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$

단계 2.4.4

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x e^{- x} - 2 e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.7

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.8

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.2.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 e^{- x}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 3.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 3.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 3.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- e^{- x})$

단계 3.3.8

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + 2 e^{- x}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$e^{- x}$ 를 $2 e^{- x}$ 에 더합니다.

$x (- e^{- x}) + 3 e^{- x}$

단계 3.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$

단계 3.4.3

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = - x e^{- x} + 3 e^{- x}$