미적분 예제

$x + \frac{1}{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - x^{- 2}$

단계 1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.10

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.11

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.13

$2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x^{- 3} + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{x^{3}} + 0$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{3}} + 0$

단계 2.4.2.2

$\frac{2}{x^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$