미적분 예제

$y = \arctan (\sqrt{7 x^{2} - 1})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{7 x^{2} - 1}$ 을(를) ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

${({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{1 + 7 x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.4

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{7 x^{2} + 0} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.4.2

$7 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 7 x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $7 x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $7 x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.10

분수를 통분합니다.

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단계 4.10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{{(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

단계 4.10.4

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{7 x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (7 x^{2})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

단계 4.10.5

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

단계 4.11

합의 법칙에 의해 $7 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.12

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.14

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.15

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + 0)$

단계 4.16

항을 간단히 합니다.

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단계 4.16.1

$14 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x)$

단계 4.16.2

$14$ 와 $\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} x$

단계 4.16.3

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 4.16.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 4.16.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 4.17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1}}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 4.18

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

단계 4.19

공약수로 약분합니다.

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단계 4.19.1

${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

단계 4.19.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

단계 4.19.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}$

단계 4.20

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$