미적분 예제

$y = x \sin (x) + \cos (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \sin (x) + \cos (x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x \sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

단계 3.4

항을 묶습니다.

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단계 3.4.1

$\sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 을 뺍니다.

$x \cos (x) + 0$

단계 3.4.2

$x \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \cos (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x \cos (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x)$