미적분 예제

$y = \ln (| 3 x^{2} - 7 x |)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 7 x |))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = | 3 x^{2} - 7 x |$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $| 3 x^{2} - 7 x |$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

단계 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $| 3 x^{2} - 7 x |$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

단계 3.2

$f (x) = | x |$ , $g (x) = 3 x^{2} - 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x^{2} - 7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

단계 3.2.2

$| u_{2} |$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 입니다.

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x^{2} - 7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

단계 3.3

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ 에 $\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x | | 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

단계 3.4

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| (3 x^{2} - 7 x) (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

단계 3.5

$3 x^{2} - 7 x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

단계 3.6

$3 x^{2} - 7 x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

단계 3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

단계 3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

단계 3.9

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 가 됩니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

단계 3.10

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

단계 3.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

단계 3.12

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

단계 3.13

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \cdot 1)$

단계 3.15

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$

단계 3.16

간단히 합니다.

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단계 3.16.1

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(6 x - 7) \frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

단계 3.16.2

$3 x^{2} - 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.16.2.1

$3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

단계 3.16.2.2

$- 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) + x \cdot - 7}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

단계 3.16.2.3

$x (3 x) + x \cdot - 7$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

단계 3.16.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.16.3.1

$3 x^{2} - 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.16.3.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) - 7 x)}^{2} |}$

단계 3.16.3.1.2

$- 7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 7)}^{2} |}$

단계 3.16.3.1.3

$x (3 x) + x \cdot - 7$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x - 7))}^{2} |}$

단계 3.16.3.2

$x (3 x - 7)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

단계 3.16.3.3

${(3 x - 7)}^{2}$ 을 $(3 x - 7) (3 x - 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ((3 x - 7) (3 x - 7)) |}$

단계 3.16.3.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x - 7) (3 x - 7)$ 를 전개합니다.

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단계 3.16.3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)) |}$

단계 3.16.3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)) |}$

단계 3.16.3.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

단계 3.16.3.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.16.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.16.3.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

단계 3.16.3.5.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.16.3.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

단계 3.16.3.5.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

단계 3.16.3.5.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

단계 3.16.3.5.1.4

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

단계 3.16.3.5.1.5

$3$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7) |}$

단계 3.16.3.5.1.6

$- 7$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49) |}$

단계 3.16.3.5.2

$- 21 x$ 에서 $21 x$ 을 뺍니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

단계 3.16.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

단계 3.16.3.7

간단히 합니다.

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단계 3.16.3.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

단계 3.16.3.7.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + x^{2} \cdot 49 |}$

단계 3.16.3.7.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $49$ 이동하기

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

단계 3.16.3.8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.16.3.8.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.16.3.8.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

단계 3.16.3.8.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2 + 2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

단계 3.16.3.8.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

단계 3.16.3.8.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.16.3.8.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x \cdot x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

단계 3.16.3.8.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.16.3.8.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x^{1} x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

단계 3.16.3.8.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{1 + 2} + 49 \cdot x^{2} |}$

단계 3.16.3.8.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

단계 3.16.3.9

$9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.16.3.9.1

$9 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

단계 3.16.3.9.2

$- 42 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + 49 x^{2} |}$

단계 3.16.3.9.3

$49 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

단계 3.16.3.9.4

$x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

단계 3.16.3.9.5

$x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

단계 3.16.3.10

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.16.3.10.1

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 49) |}$

단계 3.16.3.10.2

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2}) |}$

단계 3.16.3.10.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

단계 3.16.3.10.4

다항식을 다시 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2}) |}$

단계 3.16.3.10.5

$a = 3 x$ 이고 $b = 7$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

단계 3.16.4

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x^{2} {(3 x - 7)}^{2}}$

단계 3.16.5

공약수로 약분합니다.

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단계 3.16.5.1

$x^{2} {(3 x - 7)}^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

단계 3.16.5.2

공약수로 약분합니다.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

단계 3.16.5.3

수식을 다시 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{3 x - 7}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

단계 3.16.6

$3 x - 7$ 및 ${(3 x - 7)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.16.6.1

$1$ 을 곱합니다.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

단계 3.16.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.16.6.2.1

$x {(3 x - 7)}^{2}$ 에서 $3 x - 7$ 를 인수분해합니다.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

단계 3.16.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

단계 3.16.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(6 x - 7) \frac{1}{x (3 x - 7)}$

단계 3.16.7

$6 x - 7$ 에 $\frac{1}{x (3 x - 7)}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$