미적분 예제

$y = x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = 4 - 6 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - 6 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $4 - 6 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (\frac{{(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{2} (\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.4

$\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.8

합의 법칙에 의해 $4 - 6 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.9

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.11

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{2}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.12

항을 간단히 합니다.

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단계 3.12.1

$- 6$ 와 $\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.12.2

$- 6 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.13

공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.1

$3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2) x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.16

분수를 통분합니다.

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단계 3.16.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.16.2

$- 2$ 와 $\frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (2 x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.16.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.16.4

$\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{2} x}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 4 (x^{1} x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 4 x^{1 + 2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.19

식을 간단히 합니다.

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단계 3.19.1

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.19.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(4) x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.20

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

단계 3.21

다시 정렬합니다.

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단계 3.21.1

${(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} x$

단계 3.21.2

${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$

단계 3.22

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.24

지수를 더하여 ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ 에 ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.24.1

${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x ({(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}})}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.24.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.24.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.24.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.24.5

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.25

$2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2} + 4)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26

간단히 합니다.

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단계 3.26.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.26.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.26.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.26.2.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.2.1.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.26.2.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.2.1.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.2.1.3

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.2.1.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.2.2

$- 4 x^{3}$ 에서 $12 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 16 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.3

$- 16 x^{3} + 8 x$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.26.3.1

$- 16 x^{3}$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.3.2

$8 x$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.3.3

$8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)$ 에서 $8 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x (- 2 x^{2} + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.4

$- 2 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.5

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.6

$- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x (- (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.7

$- (2 x^{2} - 1)$ 을 $- 1 (2 x^{2} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 x (- 1 (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 3.26.9

$- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$