미적분 예제

$y = x^{6} \ln (x) - \frac{1}{5} x^{5}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{6} \ln (x) - \frac{1}{5} x^{5})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{6} \ln (x) - \frac{1}{5} x^{5}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.3

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.4

$x^{6}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.5

$x^{6}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.5.1

$x^{6}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.5.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.2.5.2.5

$x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- \frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{5} x^{5}$ 의 미분은 $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 3.3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - \frac{1}{5} (5 x^{4})$

단계 3.3.3

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - 5 (\frac{1}{5}) x^{4}$

단계 3.3.4

$- 5$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- 5}{5} x^{4}$

단계 3.3.5

$\frac{- 5}{5}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- 5 x^{4}}{5}$

단계 3.3.6

$- 5$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.6.1

$- 5 x^{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5}$

단계 3.3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.6.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)}$

단계 3.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1}$

단계 3.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- x^{4}}{1}$

단계 3.3.6.2.4

$- x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - x^{4}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$x^{5} - x^{4} + 6 x^{5} \ln (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x^{5} - x^{4} + 6 x^{5} \ln (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = x^{5} - x^{4} + 6 x^{5} \ln (x)$