미적분 예제

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{2}{3^{i}}$

단계 1

공식 $\frac{a}{1 - r}$ 을 사용하여 무한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{i}$ , $a_{i + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{\frac{2}{3^{i + 1}}}{\frac{2}{3^{i}}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$r = \frac{2}{3^{i + 1}} \cdot \frac{3^{i}}{2}$

단계 2.2.2

조합합니다.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

단계 2.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

단계 2.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{3^{i}}{3^{i + 1}}$

단계 2.2.4

$3^{i}$ 및 $3^{i + 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$3^{i}$ 에서 $3^{i + 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1}}$

단계 2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

단계 2.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

단계 2.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{3^{i - (i + 1)}}{1}$

단계 2.2.4.2.4

$3^{i - (i + 1)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = 3^{i - (i + 1)}$

단계 2.2.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r = 3^{i - i - 1 \cdot 1}$

단계 2.2.5.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = 3^{i - i - 1}$

단계 2.2.6

$i$ 에서 $i$ 을 뺍니다.

$r = 3^{0 - 1}$

단계 2.2.7

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$r = 3^{- 1}$

단계 2.2.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$r = \frac{1}{3}$

단계 3

$| r | < 1$ 이므로 급수가 수렴합니다.

단계 4

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

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단계 4.1

$i$ 의 $1$ 을 $\frac{2}{3^{i}}$ 에 대입합니다.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

단계 4.2

지수값을 계산합니다.

$a = \frac{2}{3}$

단계 5

비율과 첫 번째 항의 값을 합 공식에 대입합니다.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

단계 6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

단계 6.2.3

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

단계 6.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

단계 6.4

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 6.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 6.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

단계 6.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

단계 6.6.2

수식을 다시 씁니다.

$1$