미적분 예제

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

단계 1

합을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(i - 3)}^{2}$ 을 $(i - 3) (i - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$(i - 3) (i - 3)$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(i - 3) (i - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$i$ 에 $i$ 을 곱합니다.

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

단계 1.3.1.2

$i$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

단계 1.3.1.3

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

단계 1.3.2

$- 3 i$ 에서 $3 i$ 을 뺍니다.

$i^{2} - 6 i + 9$

단계 1.4

합을 다시 씁니다.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

단계 2

$i$ 의 시작값을 $1$ 에 맞추기 위해 합을 나눕니다.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

단계 3

$\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙이 성립되도록 합을 더 작은 크기의 부분합으로 나눕니다.

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

단계 3.2

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

차수가 $2$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

단계 3.2.2

공식에 값을 대입합니다.

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

단계 3.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1

$13$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

단계 3.2.3.1.2

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.2.1

$13$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

단계 3.2.3.1.2.2

$2$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

단계 3.2.3.1.3

$26$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

단계 3.2.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1

$182$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{4914}{6}$

단계 3.2.3.2.2

$4914$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$819$

단계 3.3

$6 \sum_{k = 1}^{13} i$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

차수가 $1$ 인 다항식의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

단계 3.3.2

공식에 값을 대입하고 첫째 항을 곱합니다.

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

단계 3.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$13$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

단계 3.3.3.1.2

$13$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$- 6 (\frac{182}{2})$

단계 3.3.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

단계 3.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

단계 3.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 \cdot 182$

단계 3.3.3.3

$- 3$ 에 $182$ 을 곱합니다.

$- 546$

단계 3.4

$\sum_{k = 1}^{13} 9$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

상수의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

단계 3.4.2

공식에 값을 대입합니다.

$(9) (13)$

단계 3.4.3

$9$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$117$

단계 3.5

합계 결과를 더합니다.

$819 - 546 + 117$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$819$ 에서 $546$ 을 뺍니다.

$273 + 117$

단계 3.6.2

$273$ 를 $117$ 에 더합니다.

$390$

단계 4

$\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 $i$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

단계 4.2.2

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

단계 4.2.3

$1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

단계 4.2.4

$- 5$ 를 $9$ 에 더합니다.

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

단계 4.2.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

단계 4.2.6

$- 6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 + 4 - 12 + 9$

단계 4.2.7

$4$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$4 - 8 + 9$

단계 4.2.8

$- 8$ 를 $9$ 에 더합니다.

$4 + 1$

단계 4.2.9

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5$

단계 5

합을 구한 값으로 바꿉니다.

$390 - 5$

단계 6

$390$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$385$