미적분 예제

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{\ln (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.4

$\frac{1}{x}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

$e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.2.1.1

$e^{x} \ln (x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (\ln (x)) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5.2.1.2

$- \frac{e^{x}}{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5.2.1.3

$e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (\ln (x) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (\frac{\ln (x) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{x} \frac{\ln (x) x - 1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5.3

$e^{x}$ 와 $\frac{\ln (x) x - 1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x)}$

단계 3.5.5

조합합니다.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (x)}$

단계 3.5.6

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

단계 3.5.7

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$