미적분 예제

$y = (7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = 7 x^{2} - 14 x + 14$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 14 x + 14]$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 14 x + 14]$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $7 x^{2} - 14 x + 14$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14]$ 가 됩니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14])$

단계 3.3.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14])$

단계 3.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14])$

단계 3.3.4

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [14])$

단계 3.3.5

$- 14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 14 x$ 의 미분은 $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14])$

단계 3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14])$

단계 3.3.7

$- 14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14 + \frac{d}{d x} [14])$

단계 3.3.8

$14$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $14$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $14$ 입니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14 + 0)$

단계 3.3.9

$14 x - 14$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(7 x^{2} - 14 x + 14) e^{x} + e^{x} (14 x - 14)$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} e^{x} - 14 x e^{x} + 14 e^{x} + e^{x} (14 x - 14)$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} e^{x} - 14 x e^{x} + 14 e^{x} + e^{x} (14 x) + e^{x} \cdot - 14$

단계 3.4.3

항을 묶습니다.

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단계 3.4.3.1

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $- 14$ 이동하기

$7 x^{2} e^{x} - 14 x e^{x} + 14 e^{x} + e^{x} (14 x) - 14 \cdot e^{x}$

단계 3.4.3.2

$- 14 x e^{x}$ 를 $e^{x} (14 x)$ 에 더합니다.

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단계 3.4.3.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$7 x^{2} e^{x} + 14 e^{x} - 14 x e^{x} + 14 x e^{x} - 14 e^{x}$

단계 3.4.3.2.2

$- 14 x e^{x}$ 를 $14 x e^{x}$ 에 더합니다.

$7 x^{2} e^{x} + 14 e^{x} + 0 - 14 e^{x}$

단계 3.4.3.3

$7 x^{2} e^{x} + 14 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 x^{2} e^{x} + 14 e^{x} - 14 e^{x}$

단계 3.4.3.4

$14 e^{x}$ 에서 $14 e^{x}$ 을 뺍니다.

$7 x^{2} e^{x} + 0$

단계 3.4.3.5

$7 x^{2} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 x^{2} e^{x}$

단계 3.4.4

$7 x^{2} e^{x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$7 e^{x} x^{2}$

단계 3.4.5

$7 e^{x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$7 x^{2} e^{x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 7 x^{2} e^{x}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{2} e^{x}$