미적분 예제

$y = {(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{6 x + 9}{6 x - 9})}^{4})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$6 x + 9$ 및 $6 x - 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{4}]$

단계 3.1.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{4}]$

단계 3.1.3

$3 (2 x) + 3 (3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{4}]$

단계 3.1.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{4}]$

단계 3.1.4.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{4}]$

단계 3.1.4.3

$3 (2 x) + 3 (- 3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

단계 3.1.4.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{4}]$

단계 3.1.4.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{4}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 {(\frac{3 (2 x) + 9}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.3.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 {(\frac{3 (2 x) + 3 (3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.3.3

$3 (2 x) + 3 (3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{6 x - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.3.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.4.1

$6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) - 9})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.3.4.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x) + 3 (- 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.3.4.3

$3 (2 x) + 3 (- 3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.3.4.4

공약수로 약분합니다.

$4 {(\frac{3 (2 x + 3)}{3 (2 x - 3)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.2.3.4.5

수식을 다시 씁니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{2 x - 3}]$

단계 3.3

$f (x) = 2 x + 3$ , $g (x) = 2 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.6.2

$2 x - 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 \cdot (2 x - 3) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.7

합의 법칙에 의해 $2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.8

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.10

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.11

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) (2 + 0)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.12

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - (2 x + 3) \cdot 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.12.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3} \frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.12.3

$\frac{2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)}{{(2 x - 3)}^{2}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{(2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)) \cdot 4}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

단계 3.4.12.4

$2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} {(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{3}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{2 x + 3}{2 x - 3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (2 (2 x - 3) - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x + 3))}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (2 (2 x) + 2 \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (2 (2 x)) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (4 x) + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x + 4 (2 \cdot - 3) + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x + 4 \cdot - 6 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.4

$4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 2 (2 x)) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.5

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x - 24 + 4 (- 4 x) + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.6

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 (- 2 \cdot 3)}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.7

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x - 24 - 16 x + 4 \cdot - 6}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.8

$4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x - 24 - 16 x - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.9

$16 x$ 에서 $16 x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.10

$0$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$\frac{- 24 - 24}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.11

$- 24$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$\frac{- 48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$

단계 3.5.5.13

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{3}}$ 에 $\frac{48}{{(2 x - 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3} {(2 x - 3)}^{2}}$

단계 3.5.5.14

지수를 더하여 ${(2 x - 3)}^{3}$ 에 ${(2 x - 3)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.14.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{3 + 2}}$

단계 3.5.5.14.2

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot 48}{{(2 x - 3)}^{5}}$

단계 3.5.5.15

${(2 x + 3)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $48$ 이동하기

$- \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{48 {(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{5}}$