미적분 예제

$x^{4} + \sin (y) = x^{3} y^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{2})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + \sin (y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$4 x^{3} + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 x^{3} + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x^{3} + \cos (y) y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

단계 3.6

다시 정렬합니다.

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단계 3.6.1

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

단계 3.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$4 x^{3} + \cos (y) y' = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$4 x^{3} + \cos (y) y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$4 x^{3} + y' \cos (y) = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $2 x^{3} y y'$ 를 뺍니다.

$4 x^{3} + y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $4 x^{3}$ 를 뺍니다.

$y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

단계 5.4

$y' \cos (y) - 2 x^{3} y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$y' \cos (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\cos (y)) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

단계 5.4.2

$- 2 x^{3} y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

단계 5.4.3

$y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

단계 5.5

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ 의 각 항을 $\cos (y) - 2 x^{3} y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ 의 각 항을 $\cos (y) - 2 x^{3} y$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$\cos (y) - 2 x^{3} y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

단계 5.5.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} - \frac{4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

단계 5.5.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

단계 5.5.3.3

$3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.3.3.1

$3 x^{2} y^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

단계 5.5.3.3.2

$- 4 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

단계 5.5.3.3.3

$x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$