미적분 예제

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{1}{k^{2} + 4}$

단계 1

각 $k$ 값에 대하여 급수를 전개합니다.

$\frac{1}{1^{2} + 4} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\frac{1}{1^{2} + 4}$ 에 $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1^{2} + 4} \cdot \frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

단계 2.1.2

$\frac{1}{1^{2} + 4}$ 에 $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2^{2} + 4}$ 에 $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

단계 2.1.4

$\frac{1}{2^{2} + 4}$ 에 $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

단계 2.1.5

$\frac{1}{3^{2} + 4}$ 에 $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$

단계 2.1.6

$\frac{1}{3^{2} + 4}$ 에 $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

단계 2.1.7

$(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

단계 2.1.8

$(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

단계 2.1.9

$(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(4 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{8 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{8 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.4

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{8 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.5

$8$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$\frac{104 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{104 + (1 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.7

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{104 + 5 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.8

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{104 + 5 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.9

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{104 + 5 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.10

$5$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$\frac{104 + 65 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{104 + 65 + (1 + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.12

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{104 + 65 + 5 (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.13

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{104 + 65 + 5 (4 + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.14

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{104 + 65 + 5 \cdot 8}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.3.15

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{104 + 65 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.4

$104$ 를 $65$ 에 더합니다.

$\frac{169 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.5

$169$ 를 $40$ 에 더합니다.

$\frac{209}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{209}{(1 + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.6.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{209}{5 (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.6.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{209}{5 (4 + 4) (3^{2} + 4)}$

단계 2.6.4

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{209}{5 \cdot 8 (3^{2} + 4)}$

단계 2.6.5

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{209}{40 (3^{2} + 4)}$

단계 2.6.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{209}{40 (9 + 4)}$

단계 2.6.7

$9$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{209}{40 \cdot 13}$

단계 2.7

$40$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$\frac{209}{520}$

단계 3

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{209}{520}$

소수 형태:

$0.40192307 \dots$