미적분 예제

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$

단계 1

공식 $\frac{a}{1 - r}$ 을 사용하여 무한 기하급수의 합을 구할 수 있습니다. 여기서 $a$ 은 첫 번째 항이고 $r$ 는 연속 항 간의 비율입니다.

단계 2

공식 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ 에 대입하고 간단히 정리하여 연속 항의 비율을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a_{n}$ , $a_{n + 1}$ 을 $r$ 공식에 대입합니다.

$r = \frac{\frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}}}{\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1}}{8^{n + 1}} \cdot \frac{8^{n}}{{(- 4)}^{n - 1}}$

단계 2.2.2

조합합니다.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

단계 2.2.3

${(- 4)}^{n + 1 - 1}$ 및 ${(- 4)}^{n - 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

${(- 4)}^{n + 1 - 1} \cdot 8^{n}$ 에서 ${(- 4)}^{n - 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}}$

단계 2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

$8^{n + 1} {(- 4)}^{n - 1}$ 에서 ${(- 4)}^{n - 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

단계 2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{{(- 4)}^{n - 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n})}{{(- 4)}^{n - 1} \cdot 8^{n + 1}}$

단계 2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}}{8^{n + 1}}$

단계 2.2.4

$8^{n}$ 및 $8^{n + 1}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n}$ 에서 $8^{n + 1}$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1}}$

단계 2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

단계 2.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$r = \frac{8^{n + 1} ({(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)})}{8^{n + 1} \cdot 1}$

단계 2.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$r = \frac{{(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}}{1}$

단계 2.2.4.2.4

${(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = {(- 4)}^{n + 0 - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

단계 2.2.5

$n$ 를 $0$ 에 더합니다.

$r = {(- 4)}^{n - (n - 1)} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

단계 2.2.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r = {(- 4)}^{n - n - - 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

단계 2.2.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$r = {(- 4)}^{n - n + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

단계 2.2.7

$n$ 에서 $n$ 을 뺍니다.

$r = {(- 4)}^{0 + 1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

단계 2.2.8

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$r = {(- 4)}^{1} \cdot 8^{n - (n + 1)}$

단계 2.2.9

지수값을 계산합니다.

$r = - 4 \cdot 8^{n - (n + 1)}$

단계 2.2.10

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1 \cdot 1}$

단계 2.2.10.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = - 4 \cdot 8^{n - n - 1}$

단계 2.2.11

$n$ 에서 $n$ 을 뺍니다.

$r = - 4 \cdot 8^{0 - 1}$

단계 2.2.12

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$r = - 4 \cdot 8^{- 1}$

단계 2.2.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$r = - 4 \cdot \frac{1}{8}$

단계 2.2.14

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.14.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = 4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

단계 2.2.14.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 2.2.14.3

공약수로 약분합니다.

$r = 4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 2.2.14.4

수식을 다시 씁니다.

$r = - 1 \cdot \frac{1}{2}$

단계 2.2.15

$- 1 (\frac{1}{2})$ 을 $- (\frac{1}{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$r = - \frac{1}{2}$

단계 3

$| r | < 1$ 이므로 급수가 수렴합니다.

단계 4

하계에 대입하고 간단히 정리하여 급수의 첫 번째 항을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$n$ 의 $1$ 을 $\frac{{(- 4)}^{n - 1}}{8^{n}}$ 에 대입합니다.

$a = \frac{{(- 4)}^{1 - 1}}{8^{1}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a = \frac{{(- 4)}^{0}}{8^{1}}$

단계 4.2.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$a = \frac{1}{8^{1}}$

단계 4.2.2

지수값을 계산합니다.

$a = \frac{1}{8}$

단계 5

비율과 첫 번째 항의 값을 합 공식에 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{8}}{1 - - \frac{1}{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- - \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

단계 6.2.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

단계 6.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

단계 6.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

단계 6.2.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

단계 6.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{8} (1 (\frac{2}{3}))$

단계 6.4

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

단계 6.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2}{3}$

단계 6.5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2}{3}$

단계 6.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

단계 6.6

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

단계 6.7

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{12}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{12}$

소수 형태:

$0.08\overline{3}$