미적분 예제

${(\frac{t^{3}}{t^{8} + 1})}^{2}$

단계 1

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{8} + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{t^{3}}{t^{8} + 1} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}]$

단계 2

$2$ 와 $\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 1}]$

단계 3

$f (t) = t^{3}$ , $g (t) = t^{8} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{(t^{8} + 1) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 1]}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{(t^{8} + 1) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 1]}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

$t^{8} + 1$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 \cdot (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 1]}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $t^{8} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 4.4

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 4.5

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + 0)}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$8 t^{7}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - t^{3} (8 t^{7})}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 4.6.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{3} t^{7}}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 5

지수를 더하여 $t^{3}$ 에 $t^{7}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$t^{7}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 (t^{7} t^{3})}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{7 + 3}}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 5.3

$7$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1} \cdot \frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 6

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 1}$ 에 $\frac{3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10})}{(t^{8} + 1) {(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 7

지수를 더하여 $t^{8} + 1$ 에 ${(t^{8} + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1

$t^{8} + 1$ 에 ${(t^{8} + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.1

$t^{8} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{1} {(t^{8} + 1)}^{2}}$

단계 7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{1 + 2}}$

단계 7.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 1) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{8} + 3 \cdot 1) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2} + 3 \cdot 1 t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.4.1.1

지수를 더하여 $t^{3}$ 에 $t^{8}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.1.1

$t^{8}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (t^{8} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 t^{8 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.1.3

$8$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2 t^{11} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.3

지수를 더하여 $t^{11}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.3.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{11}) + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 11} + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.3.3

$2$ 를 $11$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot 3 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 1 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.6

지수를 더하여 $t^{3}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.6.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.6.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.7

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} t^{10}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.9

지수를 더하여 $t^{3}$ 에 $t^{10}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.9.1

$t^{10}$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{10} t^{3})}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{10 + 3}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.9.3

$10$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{13}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.1.10

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{6 t^{13} + 6 t^{5} - 16 t^{13}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.4.2

$6 t^{13}$ 에서 $16 t^{13}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 10 t^{13} + 6 t^{5}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.5

$- 10 t^{13} + 6 t^{5}$ 에서 $2 t^{5}$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.5.1

$- 10 t^{13}$ 에서 $2 t^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 6 t^{5}}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.5.2

$6 t^{5}$ 에서 $2 t^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.5.3

$2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (3)$ 에서 $2 t^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8} + 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.6

$- 5 t^{8}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) + 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.7

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) - 1 (- 3))}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.8

$- (5 t^{8}) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8} - 3))}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.9

$- (5 t^{8} - 3)$ 을 $- 1 (5 t^{8} - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 t^{5} (- 1 (5 t^{8} - 3))}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$

단계 8.11

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 t^{5} (5 t^{8} - 3)}{{(t^{8} + 1)}^{3}}$