미적분 예제

$(2 t - 1) {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 1

$f (t) = 2 t - 1$ , $g (t) = {(6 t - 5)}^{- 1}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(2 t - 1) \frac{d}{d t} [{(6 t - 5)}^{- 1}] + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 2

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = 6 t - 5$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 t - 5$ 로 바꿉니다.

$(2 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(2 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $6 t - 5$ 로 바꿉니다.

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 t - 5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ 가 됩니다.

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 3.2

$6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $6 t$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 3.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 3.5

$- 5$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 + 0)) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} \cdot 6) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 3.6.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $2 t - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.8

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.10

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.11

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 + 0)$

단계 3.12

식을 간단히 합니다.

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단계 3.12.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} \cdot 2$

단계 3.12.2

${(6 t - 5)}^{- 1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + 2 \cdot {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 6 {(6 t - 5)}^{- 2} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 6 \frac{1}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.2

$- 6$ 와 $\frac{1}{{(6 t - 5)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t) - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.5

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t)$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.5.2

$- 2$ 와 $\frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 6}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.5.3

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.5.4

$\frac{- 12}{{(6 t - 5)}^{2}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.6

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + 1 \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.6.2

$\frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

단계 4.2.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 \frac{1}{6 t - 5}$

단계 4.2.9

$2$ 와 $\frac{1}{6 t - 5}$ 을 묶습니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2}{6 t - 5}$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{6 t - 5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6 t - 5}{6 t - 5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2}{6 t - 5} \cdot \frac{6 t - 5}{6 t - 5} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(6 t - 5)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.4.1

$\frac{2}{6 t - 5}$ 에 $\frac{6 t - 5}{6 t - 5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{(6 t - 5) (6 t - 5)} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.4.2

$6 t - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1} (6 t - 5)} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.4.3

$6 t - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1} {(6 t - 5)}^{1}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1 + 1}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t - 5) + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 12 t + 2 (6 t) + 2 \cdot - 5 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.7.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 t + 12 t + 2 \cdot - 5 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.7.3

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 t + 12 t - 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.8

$- 12 t$ 를 $12 t$ 에 더합니다.

$\frac{0 - 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.9

$0$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$\frac{- 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.10

$- 10$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{- 4}{{(6 t - 5)}^{2}}$

단계 4.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{{(6 t - 5)}^{2}}$