미적분 예제

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $3 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.3.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.5

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.5.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.2.1

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 1.6.2.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.6.2.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.6.2.2

$3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.6.2.2.1

$e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 1.6.2.2.2

$3 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}})$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}})$

단계 2.3

${({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{2 \cdot 2}})$

단계 2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $3 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.6

미분합니다.

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단계 2.6.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.6.2

합의 법칙에 의해 $3 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.6.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.6.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.7

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.9

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.10

${(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ 에서 $3 + e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.10.1

${(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$ 에서 $3 + e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.10.2

$- 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ 에서 $3 + e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.10.3

$(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ 에서 $3 + e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

단계 2.11

공약수로 약분합니다.

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단계 2.11.1

${(3 + e^{x})}^{4}$ 에서 $3 + e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

단계 2.11.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

단계 2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}})$

단계 2.12

$3$ 와 $\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{3 ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13

간단히 합니다.

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단계 2.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.13.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.13.3.1.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.3.1.2

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.13.3.1.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{x + x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.3.1.2.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.3.1.3

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} - 6 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.3.2

$3 e^{2 x}$ 에서 $6 e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.13.4.1

$9 e^{x} - 3 e^{2 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.13.4.1.1

$9 e^{x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4.1.2

$- 3 e^{2 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4.1.3

$3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4.2

$e^{2 x}$ 을 ${(e^{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4.3

$u = e^{x}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $e^{x}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{3 (3 u - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4.4

$3 u - u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.13.4.4.1

$3 u$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4.4.2

$- u^{2}$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 + u (- u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4.4.3

$u \cdot 3 + u (- u)$ 에서 $u$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{3 (u (3 - u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 2.13.4.5

$u$ 를 모두 $e^{x}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (3 - e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6