미적분 예제

$y = \frac{x^{4} + 8}{x^{2}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{4} + 8$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 1.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.2.2

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.2.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.2.4

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.2.5

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.3.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{5} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.4

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot x^{5} - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 1.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 x^{5} - (x^{4} + 8) (2 x)}{x^{4}}$

단계 1.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{4} + 8) x}{x^{4}}$

단계 1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{5} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot 8) x}{x^{4}}$

단계 1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{4} x - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

단계 1.7.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x^{5} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

단계 1.7.3.1.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

단계 1.7.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

단계 1.7.3.1.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

단계 1.7.3.1.2

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

단계 1.7.3.2

$4 x^{5}$ 에서 $2 x^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

단계 1.7.4

$2 x^{5} - 16 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$2 x^{5}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{4}) - 16 x}{x^{4}}$

단계 1.7.4.2

$- 16 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)}{x^{4}}$

단계 1.7.4.3

$2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

단계 1.7.5

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

$2 x (x^{4} - 8)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

단계 1.7.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

단계 1.7.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

단계 1.7.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{4} - 8$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

단계 2.3.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.3.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.3.4

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.3.5

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3}) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 \frac{x^{3} x^{3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \frac{x^{3 + 3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.4.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 \frac{x^{6} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.5

$x^{6}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$2 \frac{4 \cdot x^{6} - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{4 x^{6} - (x^{4} - 8) (3 x^{2})}{x^{6}}$

단계 2.7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

단계 2.7.2

$4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

$4 x^{6}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

단계 2.7.2.2

$- 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

단계 2.7.2.3

$x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

단계 2.8

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$x^{6}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

단계 2.8.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

단계 2.8.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

단계 2.9

$2$ 와 $\frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

단계 2.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 x^{4} - 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

단계 2.10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (4 x^{4}) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

단계 2.10.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{4} + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

단계 2.10.3.1.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

단계 2.10.3.1.3

$2 (- 3 \cdot - 8)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.3.1.3.1

$- 3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

단계 2.10.3.1.3.2

$2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 48}{x^{4}}$

단계 2.10.3.2

$8 x^{4}$ 에서 $6 x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{4} + 48}{x^{4}}$

단계 2.10.4

$2 x^{4} + 48$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.4.1

$2 x^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{4}) + 48}{x^{4}}$

단계 2.10.4.2

$48$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

단계 2.10.4.3

$2 x^{4} + 2 \cdot 24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} + 24)}{x^{4}}$