미적분 예제

$y = \frac{2}{\sin (x)} + \frac{1}{\cot (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{\sin (x)} + \frac{1}{\cot (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{\sin (x)} + \frac{1}{\cot (x)}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sin (x)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{\sin (x)}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

단계 3.2.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\sin^{- 1} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

단계 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

단계 3.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

단계 3.2.3.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 (- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

단계 3.2.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 (- \sin^{- 2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

단계 3.2.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]$

단계 3.3.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$

단계 3.3.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 3.3.4

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$- 2 \sin^{- 2} (x) \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.2

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 $\csc^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$- 2 \csc^{2} (x) \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.3.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.3.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{\sin^{2} (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.3.6

$\cos (x)$ 와 $\frac{2}{\sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.3.7

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

단계 3.4.3.8

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 3.4.3.9

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.3.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.4.1

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4.2

분수를 나눕니다.

$- (\frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{2}{\sin (x)} \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4.4

분수를 나눕니다.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{2}{1} \csc (x) \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4.6

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (2 \csc (x) \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\csc (x) \cot (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4.8

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 \csc (x) \cot (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.4.4.9

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 2 \csc (x) \cot (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 3.4.4.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$- 2 \csc (x) \cot (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 2 \csc (x) \cot (x) + \sec^{2} (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc (x) \cot (x) + \sec^{2} (x)$