미적분 예제

$y = \frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$

단계 3.2

$f (x) = x \sin (x)$ , $g (x) = 2 + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.3

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5

미분합니다.

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단계 3.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.3

합의 법칙에 의해 $2 + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 에 더합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.6

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.7

곱합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.7.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.8

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.12

$3$ 와 $\frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13

간단히 합니다.

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단계 3.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.13.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.13.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ 를 전개합니다.

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단계 3.13.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.2

$\cos (x) (x \cos (x))$ 을 곱합니다.

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단계 3.13.2.1.2.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.4

간단히 합니다.

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단계 3.13.2.1.4.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 (x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.1.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 (x \cos (x)) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.2

$3 x \sin^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.3

$3 x \cos^{2} (x)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.4

$3 x \sin^{2} (x)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.5

$3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x))$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.6

항을 다시 배열합니다.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.7

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cdot 1 + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.2.8

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.4

$6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.13.4.1

$6 x \cos (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.4.2

$3 \cos (x) \sin (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.4.3

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.4.4

$6 \sin (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.4.5

$3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.4.6

$3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.13.4.7

$3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$