미적분 예제

$y = 2 x^{2} - \sqrt{x} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = 2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6)$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.3.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{x^{2}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.4.10

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [6]$

단계 4.5

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + 0$

단계 4.6

간단히 합니다.

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단계 4.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 \frac{1}{x^{3}} + 0$

단계 4.6.2

항을 묶습니다.

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단계 4.6.2.1

$- 10$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 10}{x^{3}} + 0$

단계 4.6.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}} + 0$

단계 4.6.2.3

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$

단계 4.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$