미적분 예제

$y = \frac{8 x + 7}{\sqrt{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = 8 x + 7$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

단계 4.3

간단히 합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 4.4

합의 법칙에 의해 $8 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 4.5

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 4.7

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 4.8

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + 0) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 4.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 4.9.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 4.10

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

단계 4.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

단계 4.12

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

단계 4.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

단계 4.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

단계 4.14.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

단계 4.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

단계 4.16

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

단계 4.17

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + (- (8 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.3.1.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 8 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.3.1.2.1

$- 8 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.2.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.3

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.4

$x$ 와 $\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.5

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 4 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.3.1.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.3.1.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.6.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.6.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.7

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.8

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.9

$- 7$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.1.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.3.2

$8 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.2

$4 x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.4.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.4.2

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.4.4.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.4.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.4.2.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{1} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.4.3

$4 \cdot 2 x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.4.4.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 4.18.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

단계 4.18.6

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.18.6.1

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

단계 4.18.6.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{8 x - 7}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

단계 4.18.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 4.18.6.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 4.18.6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 4.18.6.6

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$