미적분 예제

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{2}{3}} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2.5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

단계 1.1.4.2

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$ 입니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

단계 2.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

단계 2.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

단계 2.4

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ 의 각 항에 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ 의 각 항에 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2.3

$x^{\frac{1}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 = 3 x^{\frac{1}{3}}$

단계 2.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

단계 2.5.2

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

단계 2.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

단계 2.5.2.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

단계 2.5.3

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $3$ 승합니다.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

단계 2.5.4

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.2

간단히 합니다.

$x = {(\frac{2}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1

${(\frac{2}{3})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1.1

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

단계 2.5.4.2.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$x = \frac{8}{3^{3}}$

단계 2.5.4.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$x = \frac{8}{27}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{8}{27}$ 입니다.

$\frac{8}{27}$

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

단계 4.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - 1$

단계 4.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

단계 4.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$27 x^{1} = 0^{3}$

단계 4.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$27 x = 0^{3}$

단계 4.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$27 x = 0$

단계 4.3.3

$27 x = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$27 x = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나눕니다.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

단계 4.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

단계 4.3.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{27}$

단계 4.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.3.1

$0$ 을 $27$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{27}) \cup (\frac{8}{27}, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.1

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

단계 6.2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

단계 6.2.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

단계 6.2.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 (- 1)} - 1$

단계 6.2.1.1.4

지수값을 계산합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 \cdot - 1} - 1$

단계 6.2.1.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = \frac{2}{- 3} - 1$

단계 6.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1$

단계 6.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

단계 6.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

단계 6.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

단계 6.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 3}{3}$

단계 6.2.5.2

$- 2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

단계 6.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

단계 6.2.7

최종 답은 $- \frac{5}{3}$ 입니다.

$- \frac{5}{3}$

단계 6.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $- \frac{5}{3}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 7

$(0, \frac{8}{27})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.\overline{148}$ 을 대입합니다.

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 {(0.\overline{148})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0.\overline{148}$ 를 $\frac{1}{3}$ 승 합니다.

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 \cdot 0.52913368} - 1$

단계 7.2.1.2

$3$ 에 $0.52913368$ 을 곱합니다.

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{1.58740105} - 1$

단계 7.2.1.3

$2$ 을 $1.58740105$ 로 나눕니다.

$f' (0.\overline{148}) = 1.25992104 - 1$

단계 7.2.2

$1.25992104$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (0.\overline{148}) = 0.25992104$

단계 7.2.3

최종 답은 $0.25992104$ 입니다.

$0.25992104$

단계 7.3

$x = 0.\overline{148}$ 에서의 도함수는 $0.25992104$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \frac{8}{27})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \frac{8}{27})$ 에서 증가함

단계 8

$(\frac{8}{27}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.2962963$ 을 대입합니다.

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 {(1.2962963)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$1.2962963$ 를 $\frac{1}{3}$ 승 합니다.

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 \cdot 1.09035543} - 1$

단계 8.2.1.2

$3$ 에 $1.09035543$ 을 곱합니다.

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3.27106631} - 1$

단계 8.2.1.3

$2$ 을 $3.27106631$ 로 나눕니다.

$f' (1.2962963) = 0.61142141 - 1$

단계 8.2.2

$0.61142141$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (1.2962963) = - 0.38857858$

단계 8.2.3

최종 답은 $- 0.38857858$ 입니다.

$- 0.38857858$

단계 8.3

$x = 1.2962963$ 에서의 도함수는 $- 0.38857858$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{8}{27}, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{8}{27}, \infty)$ 에서 감소함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(0, \frac{8}{27})$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0), (\frac{8}{27}, \infty)$

단계 10