미적분 예제

$\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t - 1)}^{3} d t$

단계 1

이항정리 이용

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t)}^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 2^{3} t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.3

$2 t$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (2^{2} t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (4 t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.5

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 12 t^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.6

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.7

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.8

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.9

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t + {(- 1)}^{3} d t]$

단계 2.10

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

단계 3

적분을 $c$ 이 $x^{4}$ 과 $x^{5}$ 사이의 값인 두 개의 적분으로 분할합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

단계 4

합의 법칙에 의해 $\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

단계 5

적분의 경계값을 바꿉니다.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

단계 6

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

단계 7

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

단계 8

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ 를 미분합니다.

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [x^{5}] (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

${(x^{4})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x^{3} (- (8 x^{4 \cdot 3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2.1.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2.2

${(x^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{4 \cdot 2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2.2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2.4

${(x^{5})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{5 \cdot 3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2.4.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2.5

${(x^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 9.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{5 \cdot 2} + 6 x^{5} - 1)$

단계 9.2.5.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3

항을 묶습니다.

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단계 10.3.1

$8$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 32 x^{3} x^{12} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{12}$ 을 곱합니다.

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단계 10.3.2.1

$x^{12}$ 를 옮깁니다.

$- 32 (x^{12} x^{3}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 32 x^{12 + 3} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.2.3

$12$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 32 x^{15} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.3

$- 12$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{3} x^{8} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

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단계 10.3.4.1

$x^{8}$ 를 옮깁니다.

$- 32 x^{15} + 48 (x^{8} x^{3}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{8 + 3} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.4.3

$8$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.5

$6$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{3} x^{4} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.6

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 10.3.6.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 (x^{4} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{4 + 3} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.6.3

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.7

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.8

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{4} x^{15} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.9

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{15}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.9.1

$x^{15}$ 를 옮깁니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 (x^{15} x^{4}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{15 + 4} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.9.3

$15$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.10

$- 12$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{4} x^{10} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.11

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{10}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.11.1

$x^{10}$ 를 옮깁니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 (x^{10} x^{4}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{10 + 4} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.11.3

$10$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.12

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{4} x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.13

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.13.1

$x^{5}$ 를 옮깁니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 (x^{5} x^{4}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.13.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{5 + 4} + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.13.3

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} + 5 x^{4} \cdot - 1$

단계 10.3.14

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} - 5 x^{4}$

단계 10.4

항을 다시 정렬합니다.

$40 x^{19} - 32 x^{15} - 60 x^{14} + 48 x^{11} + 30 x^{9} - 24 x^{7} - 5 x^{4} + 4 x^{3}$