미적분 예제

$e^{\sqrt{x}}$

단계 1

$e^{\sqrt{x}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{\sqrt{x}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int e^{\sqrt{x}} d x$

단계 4

먼저 $u = \sqrt{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

$\int 2 u e^{u} d u$

단계 5

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int u e^{u} d u$

단계 6

$w = u$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

단계 7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

단계 8

간단히 합니다.

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $\sqrt{x}$ 로 바꿉니다.

$2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

단계 10

답은 함수 $f (x) = e^{\sqrt{x}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$